Composición de funciones

Composición de funciones:

La composición es una operación entre funciones que se establece de la

siguiente manera:

Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función f con la función g , a la función denotada f x g ( léase f composición g ),

cuya regla de correspondencia es

( f o g )( x ) = f [ g (x) ] donde su dominio está representado por el conjunto

Dfog ={x x∈Dg ; g(x)∈Df }

Para obtener la regla de correspondencia de la función f o g , según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f .  

Asíporejemplo,seanlasfunciones f(x)=4x2−1yg(x)= x,entonces, la regla de la función f o g se obtiene mediante la siguiente sustitución.

 (F o g) (x)= f[g(x)], por lo que

(F o g) (x)= f[x], entonces

(F o g) (x)= 4x-1

Notación Funcional.- Es una simbología que sirve para representar sucintamente una función, se expresa de la siguiente manera

y = w (x)

Donde:

23. w  Representa la regla de correspondencia de la función.

24. x  Indica el dominio de la función w , o bien, a la variable independiente.

w ( x ) Representa al recorrido de la función w , indica los valores de la variable

dependiente.
Entonces, en estos términos, el significado de

f [ g (x) ]
Es que el dominio de la función resultante, es un subconjunto, propio o impropio,

del dominio de la función g , y que su recorrido es un subconjunto propio o impropiodelafunción f.

De lo anterior, es importante tener presente que la condición para que se pueda efectuar esta operación es el cumplimiento de Rg∩Df ≠∅

A partir de la condición anterior, indicar si es posible o no obtener la composición entre las funciones que se indican:

g(x)=−x2

f(x)= x−1

h(x)=− 1

          1+ x2  

i(x)= 1−(x−2)2 

Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la función composición fog,recurramos a su representación en un diagrama de Venn. 

 

Podemos ver que el D f o g ( dominio de f o g ) lo formarán aquellos elementos del D g para los cuales, al sustituirlos en la función g , el resultado pertenece al conjunto R g ∩ D f .

Para obtener el R f o g ( recorrido de f o g ), analizamos los valores que obtenemos de la función f , cuando la valuamos en todos los elementos del

conjunto Rg∩Df. 

Ejemplo.-Sif(x)=− 1+x y g(x)=x2−1,obtener la función f o g, y trazar su gráfica.

Si hacemos la representación correspondiente en un diagrama de Venn.

http://dcb.fi-c.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/CalculoDiferencial/documents/Composicion.pdf 

ING. ALEJANDRA VARGAS ESPINOZA DE LOS MONTEROS 

ING. SERGIO CARLOS CRAIL CORZAS