Dada la función y = f(x), su gráfica es el conjunto de puntos (x, f(x)) siendo x cualquier punto de su dominio. En la mayoría de los casos es imposible obtener todos estos puntos, por lo que es conveniente realizar un estudio de la función que nos permita obtener su gráfica.
Ejemplo 8: Estudiar y representar gráficamente la función f(x) = x3 (x −1)2
1)D=R-{1}
2).f(x) es continua y derivable en D por ser cociente de polinomios con denominador no nulo.f(x) es discontinua en x = 1, ya que lim x3 = 1 = +∞ . Además, no es derivable en este punto por no ser continua. x→1(x −1)2 0
3).Para estudiar si la gráfica de f(x) es simétrica se halla f(−x) = (−x) = −x . Al no coincidir con f(x) ni con -f(x) , 2233(−x −1) (x +1) se concluye que no es simétrica ni respecto del eje OY ni respecto del origen.
4).La periodicidad de la función en este caso no es necesario estudiarla ya que no es trigonométrica.
5).Cortes con los ejes:
•ConOY,x=0 ⇒ f(0)=0
• Con OX, y = 0 ⇒ x3 (x −1)2 x= 0= 0 ⇒ Luego el único punto de corte es (0, 0).
6). Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
Se calcula f'(x)=3x(x−1) −x2(x−1)=3x(x−1)−x2=x −3x =x(x−3) 4333
En la tabla siguiente se estudia el signo de f '(x) en los intervalos determinados por los puntos x = 0, 1, 3 que son los que anulan el dominador o numerador de f'(x).
|
Signo |
(-∞, 0) |
(0, 1) |
(1, 3) |
(3, +∞) |
|
x−3 |
- |
- |
- |
+ |
|
3 (x −1) |
- |
- |
+ |
+ |
|
f '(x) = x2(x − 3) 3 (x −1) |
+ |
+ |
- |
+ |
|
f (x) |
↑ |
↑ |
↓ |
↑ |
La función es estrictamente creciente en (-∞, 0), (0, 1) y (3, +∞) y estrictamente decreciente en (1, 3).
Así en x = 3 hay un cambio de decrecimiento a crecimiento, luego se alcanza en este punto un mínimo relativo. Para
dibujarlo se calcula f (3) = 27/4 por lo tanto, el punto mínimo es [3, 27 \4 ]. Observar que en el punto x = 1 también hay cambio de crecimiento a decrecimiento, sin embargo no es máximo de la función ya que este punto no pertenece al dominio.
9) Por último podemos construir la siguiente tabla de puntos relevantes obtenidos en los apartados anteriores:
|
x |
f (x) |
|
0 |
0 |
|
2/3 |
8/3 |
|
3 |
27/4 |
Teniendo en cuente el estudio realizado, la gráfica de la función f(x) = x3 / (x-1)2 es:
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