Máximos y mínimos

Máximos y mínimos:

Los máximos y mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos)  o mas pequeños (mínimos) que toman una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad. 

Observa la gráfica:

 

 Conclusión: Las aplicaciones de la derivada se me hicieron un poco complicadas porque no se muy bien obtener los máximos y mínimos pero con la practica todo se soluciona. 

http://www.slideshare.net/ceciliateresa/maximos-y-minimos-de-una-funcion 

   

Extremos relativos

Extremos relativos: 

Sea f(x,y) una función definida sobre el conjunto R del que (a,b) es un punto interior. Se dice que: 

• La función f alcanza un mínimo relativo en el punto (a,b) si en un entorno del punto: f(x,y)>f(a,b).

• La función f alcanza un máximo relativo en el punto (a,b) si en un entorno del punto: f(x,y)<f(a,b).

 http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/calculo/guia/calculo_9_2_2.pdf  

Función creciente y decreciente

Función creciente y decreciente: 

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica,                              (x₁, f(x₁) ) y  ( x₂, f(x₂) )  con

 

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	<	f(x2).
Prevalece la relación  <

  

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica,

 (x₁, f(x₁) ) y  ( x₂, f(x₂) )  con

 

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	>	f(x2).
Cambia la relación de <  a  >

  

En la siguiente gráfica lo muestra 

 

http://facultad.bayamon.inter.edu/smejias/precalculo/conferencia/funcrecydecrec.htm  

Derivada de orden superior

Derivadas de orden superior:

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

 

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas. 

para derivadas de orden superior es de forma similar, así Dada la función  obtener la segunda derivada y cuarta derivada:

 

Conclusión: Para mi los tópicos complementarios de diferenciación no se me dificultaron ya que es complemento de las derivadas. 

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derivadas_de_orden_superior.htm 

Derivadas de funciones exponenciales

Derivadas de funciones exponenciales:

Una función exponencial es aquella en la que la variable está en el exponente. Ejemplos

de funciones exponenciales son y = 2x

y = 45x
y = 82x + 1

y = 10x - 3

Cuando se tiene la potenciación

ak = c
donde a, k y c son cualquier número (son tres cantidades las que intervienen: la base, el exponente y el resultado), a partir del resultado c existen dos posibilidades de regreso, uno hacia la base y otro hacia el exponente. Para regresar a la base se emplea la raíz k-ésima 1 de c; para re- gresar al exponente se emplea el logaritmo base a de c. En ambos casos la “operación raíz” o la “operación logaritmo” se le aplica al resultado c de la potenciación; además, se debe hacer inter- venir a la tercera cantidad, en el primer caso para señalar el índice del radical, en el segundo caso para señalar la base. 

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/7%20derivada%20funciones%20logaritmicas.pdf 

Derivadas de funciones logarítmicas

Derivadas de funciones logarítmicas:

El logaritmo de un número n es el exponente  al que debe elevarse la base para obtener dicho número n. 

Como los logaritmos pueden ser base de cualquier número, habría un número infinito de diferentes logaritmos, por lo que en algún momento los matemáticos acordaron emplear sola- mente dos tipos de logaritmos:

1. a)  los logaritmos base diez (por tratarse de un sistema decimal), llamados logaritmos vulgares o logaritmos decimales, representados simplemente por el símbolo log sin especificar la base, que se sobreentiende que es 10.

2. b)  los logaritmos naturales, representados por el símbolo ln y cuya base es el número irracional 2.718281828,. De manera semejante a como con π se representa el nú- mero de veces que el diámetro cabe en su propia circunferencia (3.1416), la base de

los logaritmos naturales se simboliza con la letra e, o sea que e = 2.718281828 .

Para obtener el valor de e con la calculadora debe oprimirse la tecla ex que en casi todos los modelos se localiza como segunda función del logaritmo natural, y después teclear el número 1. Con eso real- mente se está ingresando e1 que es e.

Este número sale del límite lim(1+ x)1/ x

                                                                x→0
del cual, por no ser tema de este curso, no se va a detallar más. 

7.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Los logaritmos, no importa cuál sea su base, todos tienen las siguientes tres propiedades:

1. 1a:  log A + log B = log AB

2. 2a:  log A−log B= log Alog B 

   3a: A log B = log B A

De éstas, la tercera será muy útil para resolver algunas derivadas de logaritmos, como se expondrá en algunos de los ejemplos venideros. 

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/7%20derivada%20funciones%20logaritmicas.pdf 

Regla de la cadena y de la potencia

Regla de la cadena y de la potencia:

Regla de la cadena

Si f y g son funciones diferenciales de x donde y=F(u) y u=G(x), entonces y= F(g(x))=(f o g)(x) es una función diferencial de x,y:

ay/ax=a(f o g)/ax=f'(u).g'(x)=f'(g(x)).g(x)

Comúnmente, g(x) se conoce como derivada interna. 

Regla de la potencia

Si u es una función  diferenciable de x y n es un numero real, entonces y=u^n es una función diferenciable de x,y:

Comúnmente, au/ax se conoce como derivada interna

 

Conclusión: No se me hicieron complicadas las derivadas sin embargo tienes que seguir bien sus reglas, si no ya estas mal.

 http://www.slideshare.net/willaren/regla-de-la-cadena-y-regla-de-la-potencia 

      

Reglas básicas de derivación

Reglas básicas de derivación: 

Regla 1: para una constante "a"

Si f(x)= a , su derivada f'(x)= 0 

Regla 2: para la función identidad f(x)=x  

Si f(x) =x , su derivada es f'(x)=1.

Regla 3: para una constante "a" or una variable x 

Si f(x)=ax , su derivada es f'(x)=a 

Regla 4: para una variable "x" elevada a una potencia "n" 

Si f(x)=x, su derivada es f'(x)=nx 

Regla 5: por una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n". n n-1 

Si f(x)=ax, su derivada es f'(x)=anx

Regla 6: para una suma de funciones  

Si f(x)=u(x) + v(x) su derivada es f'(x)=u'(x) + v'(x)

Regla del producto: esta regla es útil cuando se tiene  una Función formada de la multiplicación de polinomios

Regla del cociente: esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la division de polinomios como si "u" y "v" son los polinomios. 

La función f(x)=u/v , se deriva u'v -uv'/v 

Regla de la cadena: este regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia, si "u" es el polinomio. n n-1

Si f(x)=u, su derivada es f'(x)=n(u)(u') 

http://calculo-vazquezguzman-jair.blogspot.mx/2010/05/reglas-basicas-de-la-derivada.html 

Diferenciabilidad y continuidad

Diferenciabilidad y continuidad:

La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

=

lim h0

f(a+h) - f(a) h

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.

Una Función puede fallar si es diferenciable en el punto a si 

=

lim h0

f(a+h) - f(a) h

 No existe, o si es infinito. 

En el primer caso tenemos una cúspide en la gráfica, y en el ultomo caso , obtenemos un punto e tangencia vertical. 

 


Stefan Waner y Steven R. Costenoble
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/contanddiffb.html
 

La derivada como razón de cambio

La derivada como razón de cambio: 

El cociente  

es la razón de cambio promedio en el intervalo entre c y c+h. 

El límite:  

es entonces la razón de cambio instantáneo o simplemente la razón de h→ 0 h

cambio de f con respecto a x cuando x=c. Así pues la derivada se interpreta también como la razón de cambio instantánea.

En ocasiones nos referimos a la tasa de cambio como la razón de cambio.

http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/2009/texto21/derivada_marzo2009.pdf 

Diferenciación de funciones por incremento

Diferenciación de funciones por incremento:  

 

 

http://www.slideshare.net/naatthaaliiee/derivadas-incrementos 

Derivada de una función

Derivada de una función:

Dada una función f(x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotando como f(a), al siguiente limite: 

 

 

Se puede expresar de dos formas:

 

http://www.hiru.com/matematicas/derivada-de-una-funcion 

 

Limite de la función costo promedio

Limite de la función costo promedio: 

 Actividad 1. Maximización de costo promedio El costo promedio mensual debido en una empresa de ensamble de computadoras por unidades ensambladas está dado por la siguiente función:            Cu= 15000+ 1250u 

En donde u representa el número de unidades ensambladas. 

Se desea aumentar el número de unidades ensambladas. 

Determine el costo promedio máximo de la empresa si se aumenta la producción de unidades de ensamblaje. 

El costo promedio mensual esta dado por la función C(u)=15,000+1,250/u 

La función para costo promedio mensual salió de: C(x) = aX+Cf para poder determinar cuál es el costo fijo.

 Sustituyendo: C(x)=15,000x+1,250 

El costo promedio mensual es igual al costo total entre el número de unidades ensambladas que aportan al costo.

 La función de costo promedio: Cm(x) = Cx/x Sustituyendo C(x) = ([15,000x /x] + [1250/x]) = 15,000+1250/x = C(u)=15,000+1,250/u 

Donde U representa al infinito y todo número dividido entre infinito es igual a 0. 

Entonces C(u)=15,000+ 0 C(u)=15,000

La función de costo promedio mensual tiene 15,000 . 

Como el número de unidades ensambladas no esta definido, se considera infinito y la función tiende a 15,000.

http://administracion.realmexico.info/2012/10/limites-y-aplicacion-en-funciones.html 

Interés compuesto

Interés compuesto: 

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente período, y sigue así.

 

 

 

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html 

Continuidad y discontinuidad

Continuidad y discontinuidad:

Sea f(x) una función definida en un entorno de punto c. Decimos que f es una función continua en el punto c si: 

1.-  C € dom(f) 

2.- Existe y es finito lim f(x) 

                                  x-c  

3.- lim f(x) = f(c) 

     x-c 

Sea f(x) una función definida en un entorno a la derecha del punto c. Decíamos que f es  una función continua en el punto c por la derecha si: 

1.- C €   Dom f(x)     

2.- Existe y es finito lim f(x) 

                                 x-c+ 

3.- lim f(x) = f(c)

     x-c+ 

Sea f(x) una función definida en un entorno a la izquierda del punto c. Decimos que f es una función continua en el punto c por la izquierda si: 

1.- C €  dom (f) 

2.- Existe y es finito lim f(x)

                                  X-c-

3.- lim f(x)= f(c) 

     x-c-

Discontinuidad:

Punto en el que la gráfica de una función presenta un corte o un salto. Puede pertenecer o no al dominio 

de Definición de la Función pero la función tiene que estar definida tanto a la derecha como a la izquierda del punto.

  

https://www5.uva.es/guia_docente/uploads/2012/450/42223/1/Documento6.pdf 

  

Limites al infinito

Limites al infinito: 

 

 

es.scribd.com/doc/5263696/Limites-infinitos-y-limites-al-infinito 

Limites laterales

Limites laterales: 

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.

 

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.

 

 

http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/geogebra/limites.html 

Dr. Jose Manuel Becerra Espinoza 

Propiedades de los limites

Propiedades de los limites: 

Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g son funciones que tienen límites cuando x → c, sin validas las siguientes propiedades 

1. Límite de una constante

Sea f (x)= k, entonces, Lim f (x)= k x→c 

Límite de una suma de funciones

Lím[f (x)+ g(x)]= Lím f (x)+ Lim g(x) 

x→c                           x→c               x→c             

3. Límite de una diferencia de funciones

Lím[f (x)− g(x)]= Lím f (x)− Lim g(x)  

x→c                     x→c              x→c

 4. Límite de un producto de funciones

Lím[f(x)⋅g(x)]=Lím f(x)⋅Lim g(x)   

 x→c                      x→c          x→c 

5. Límite de un cociente de funciones

Lím [f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x), g(x) ≠ 0

  x→c                     x→c         x→c 

 http://huilaaprendematematicas.com/calculo/LIMITES.pdf 

Funciones de apreciación y depreciación

Función de depreciación:

La depreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. Resulta un método simple que viene siendo muy utilizado y que se basa en considerar la obsolescencia progresiva como la causa primera de una vida de servicio limitada, y considerar por tanto la disminución de tal utilidad de forma constante en el tiempo. El cargo por depreciación será igual al costo menos el valor de desecho.

Costo – valor de desecho

=

monto de la depreciación para cada año de vida del activo o gasto de depreciación anual

Ejemplo: Para calcular el costo de depreciación de una cosechadora de 22.000 euros que aproximadamente se utilizará durante 5 años, y cuyo valor de desecho es de 2.000 euros, usando este método de línea recta obtenemos:

22.000 € - 2.000 €	=	Gasto de depreciación anual de 0,20 €
100.000 Kg

 

Ahora para conocer el gasto cada año multiplicaremos el número de kilogramos cosechados cada año por ese gasto unitario obtenido anteriormente, que en este caso, al tratarse de 5 años de vida útil, quedará así: 

Año	Costo por kilogramo	X	Kilogramos	Depreciación anual
1	0,2 €		30.000	6.000 €
2	0,2 €		30.000	6.000 €
3	0,2 €		15.000	3.000 €
4	0,2 €		15.000	3.000 €
5	0,2 €		10.000	2.000 €
			100. 000	20.000 €

http://www.depreciacion.net/metodos.html 

 

Función cuadrática

Función cuadrática:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

Donde a, b y c ( llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero ( puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y c si puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus terminos tienen un nombre.

Termino cuadratico ax²

Termino lineal bx 

Termino independiente c

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

 

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html 

 

Gráfica de una función

Gráfica de una función: 

Dada la función y = f(x), su gráfica es el conjunto de puntos (x, f(x)) siendo x cualquier punto de su dominio. En la mayoría de los casos es imposible obtener todos estos puntos, por lo que es conveniente realizar un estudio de la función que nos permita obtener su gráfica.

Ejemplo 8: Estudiar y representar gráficamente la función f(x) = x3 (x −1)2 

1)D=R-{1}

2).f(x) es continua y derivable en D por ser cociente de polinomios con denominador no nulo.f(x) es discontinua en x = 1, ya que lim x3 = 1 = +∞ . Además, no es derivable en este punto por no ser continua. x→1(x −1)2 0 

3).Para estudiar si la gráfica de f(x) es simétrica se halla f(−x) = (−x) = −x . Al no coincidir con f(x) ni con -f(x) , 2233(−x −1) (x +1) se concluye que no es simétrica ni respecto del eje OY ni respecto del origen. 

4).La periodicidad de la función en este caso no es necesario estudiarla ya que no es trigonométrica.

 5).Cortes con los ejes:

•ConOY,x=0 ⇒ f(0)=0

• Con OX, y = 0 ⇒ x3 (x −1)2 x= 0= 0 ⇒ Luego el único punto de corte es (0, 0).

6). Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. 

Se calcula f'(x)=3x(x−1) −x2(x−1)=3x(x−1)−x2=x −3x =x(x−3) 4333

(x −1)  (x −1) (x −1) (x −1)

En la tabla siguiente se estudia el signo de f '(x) en los intervalos determinados por los puntos x = 0, 1, 3 que son los que anulan el dominador o numerador de f'(x).

Signo	(-∞, 0)	(0, 1)	(1, 3)	(3, +∞)
x−3	-	-	-	+
3 (x −1)	-	-	+	+
f '(x) = x2(x − 3) 3 (x −1)	+	+	-	+
f (x)	↑	↑	↓	↑

La función es estrictamente creciente en (-∞, 0), (0, 1) y (3, +∞) y estrictamente decreciente en (1, 3).
Así en x = 3 hay un cambio de decrecimiento a crecimiento, luego se alcanza en este punto un mínimo relativo. Para

dibujarlo se calcula f (3) = 27/4 por lo tanto, el punto mínimo es [3, 27 \4 ]. Observar que en el punto x = 1 también hay cambio de crecimiento a decrecimiento, sin embargo no es máximo de la función ya que este punto no pertenece al dominio. 

9) Por último podemos construir la siguiente tabla de puntos relevantes obtenidos en los apartados anteriores:

x	f (x)
0	0
2/3	8/3
3	27/4

Teniendo en cuente el estudio realizado, la gráfica de la función f(x) = x3 /  (x-1)2  es: 

 

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7graf/u7grafte50.pdf 

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillon, Trinidad Zabal.