El cociente
El límite:
cambio de f con respecto a x cuando x=c. Así pues la derivada se interpreta también como la razón de cambio instantánea.
En ocasiones nos referimos a la tasa de cambio como la razón de cambio.
http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/2009/texto21/derivada_marzo2009.pdf
El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:
si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.
El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:
si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.
Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g son funciones que tienen límites cuando x → c, sin validas las siguientes propiedades
1. Límite de una constante
Sea f (x)= k, entonces, Lim f (x)= k x→c
Límite de una suma de funciones
Lím[f (x)+ g(x)]= Lím f (x)+ Lim g(x)
x→c x→c x→c
3. Límite de una diferencia de funciones
Lím[f (x)− g(x)]= Lím f (x)− Lim g(x)
x→c x→c x→c
4. Límite de un producto de funciones
Lím[f(x)⋅g(x)]=Lím f(x)⋅Lim g(x)
x→c x→c x→c
5. Límite de un cociente de funciones
Lím [f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x), g(x) ≠ 0
x→c x→c x→c
http://huilaaprendematematicas.com/calculo/LIMITES.pdf
Costo – valor de desecho | = | monto de la depreciación para cada año de vida del activo o gasto de depreciación anual |
22.000 € - 2.000 € | = | Gasto de depreciación anual de 0,20 € |
100.000 Kg |
Año | Costo por kilogramo | X | Kilogramos | Depreciación anual |
1 | 0,2 € | 30.000 | 6.000 € | |
2 | 0,2 € | 30.000 | 6.000 € | |
3 | 0,2 € | 15.000 | 3.000 € | |
4 | 0,2 € | 15.000 | 3.000 € | |
5 | 0,2 € | 10.000 | 2.000 € | |
100. 000 | 20.000 € |
http://www.depreciacion.net/metodos.html
f(x) = ax2 + bx + c
Dada la función y = f(x), su gráfica es el conjunto de puntos (x, f(x)) siendo x cualquier punto de su dominio. En la mayoría de los casos es imposible obtener todos estos puntos, por lo que es conveniente realizar un estudio de la función que nos permita obtener su gráfica.
Ejemplo 8: Estudiar y representar gráficamente la función f(x) = x3 (x −1)2
1)D=R-{1}
2).f(x) es continua y derivable en D por ser cociente de polinomios con denominador no nulo.f(x) es discontinua en x = 1, ya que lim x3 = 1 = +∞ . Además, no es derivable en este punto por no ser continua. x→1(x −1)2 0
3).Para estudiar si la gráfica de f(x) es simétrica se halla f(−x) = (−x) = −x . Al no coincidir con f(x) ni con -f(x) , 2233(−x −1) (x +1) se concluye que no es simétrica ni respecto del eje OY ni respecto del origen.
4).La periodicidad de la función en este caso no es necesario estudiarla ya que no es trigonométrica.
5).Cortes con los ejes:
•ConOY,x=0 ⇒ f(0)=0
• Con OX, y = 0 ⇒ x3 (x −1)2 x= 0= 0 ⇒ Luego el único punto de corte es (0, 0).
6). Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
Se calcula f'(x)=3x(x−1) −x2(x−1)=3x(x−1)−x2=x −3x =x(x−3) 4333
En la tabla siguiente se estudia el signo de f '(x) en los intervalos determinados por los puntos x = 0, 1, 3 que son los que anulan el dominador o numerador de f'(x).
|
Signo |
(-∞, 0) |
(0, 1) |
(1, 3) |
(3, +∞) |
|
x−3 |
- |
- |
- |
+ |
|
3 (x −1) |
- |
- |
+ |
+ |
|
f '(x) = x2(x − 3) 3 (x −1) |
+ |
+ |
- |
+ |
|
f (x) |
↑ |
↑ |
↓ |
↑ |
La función es estrictamente creciente en (-∞, 0), (0, 1) y (3, +∞) y estrictamente decreciente en (1, 3).
Así en x = 3 hay un cambio de decrecimiento a crecimiento, luego se alcanza en este punto un mínimo relativo. Para
dibujarlo se calcula f (3) = 27/4 por lo tanto, el punto mínimo es [3, 27 \4 ]. Observar que en el punto x = 1 también hay cambio de crecimiento a decrecimiento, sin embargo no es máximo de la función ya que este punto no pertenece al dominio.
9) Por último podemos construir la siguiente tabla de puntos relevantes obtenidos en los apartados anteriores:
|
x |
f (x) |
|
0 |
0 |
|
2/3 |
8/3 |
|
3 |
27/4 |
Teniendo en cuente el estudio realizado, la gráfica de la función f(x) = x3 / (x-1)2 es:
La composición es una operación entre funciones que se establece de la
siguiente manera:
Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función f con la función g , a la función denotada f x g ( léase f composición g ),
cuya regla de correspondencia es
( f o g )( x ) = f [ g (x) ] donde su dominio está representado por el conjunto
Dfog ={x x∈Dg ; g(x)∈Df }
Para obtener la regla de correspondencia de la función f o g , según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f .
Asíporejemplo,seanlasfunciones f(x)=4x2−1yg(x)= x,entonces, la regla de la función f o g se obtiene mediante la siguiente sustitución.
(F o g) (x)= f[g(x)], por lo que
(F o g) (x)= f[x], entonces
(F o g) (x)= 4x-1
Notación Funcional.- Es una simbología que sirve para representar sucintamente una función, se expresa de la siguiente manera
y = w (x)
Donde:
w Representa la regla de correspondencia de la función.
x Indica el dominio de la función w , o bien, a la variable independiente.
w ( x ) Representa al recorrido de la función w , indica los valores de la variable
dependiente.
Entonces, en estos términos, el significado de
f [ g (x) ]
Es que el dominio de la función resultante, es un subconjunto, propio o impropio,
del dominio de la función g , y que su recorrido es un subconjunto propio o impropiodelafunción f.
De lo anterior, es importante tener presente que la condición para que se pueda efectuar esta operación es el cumplimiento de Rg∩Df ≠∅
A partir de la condición anterior, indicar si es posible o no obtener la composición entre las funciones que se indican:
g(x)=−x2
f(x)= x−1
h(x)=− 1
1+ x2
Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la función composición fog,recurramos a su representación en un diagrama de Venn.
Podemos ver que el D f o g ( dominio de f o g ) lo formarán aquellos elementos del D g para los cuales, al sustituirlos en la función g , el resultado pertenece al conjunto R g ∩ D f .
Para obtener el R f o g ( recorrido de f o g ), analizamos los valores que obtenemos de la función f , cuando la valuamos en todos los elementos del
conjunto Rg∩Df.
Ejemplo.-Sif(x)=− 1+x y g(x)=x2−1,obtener la función f o g, y trazar su gráfica.
Si hacemos la representación correspondiente en un diagrama de Venn.
ING. ALEJANDRA VARGAS ESPINOZA DE LOS MONTEROS
ING. SERGIO CARLOS CRAIL CORZAS
