Función exponencial y logarítmica

Función exponencial y logarítmica:

Una función exponencial con base a se define como:
y= f(x)=ax

donde a∈Rcon a>0, a≠1y x es un número.
Esto significa que la base de la función exponencial siempre es positiva, por lo que el valor de f (x) siempre es

positivo.Además,la base no puede ser la unidad,porque se convertiría en una función constante,  f(x)=1x =1. Es importante que esta función no se confunda con la función f (x)= xa , cuya base es x que asocia a

cada número real a un número positivo xa . El comportamiento de estas funciones es muy distinto. Para ejemplificar esto, se toma el valor de a = 3 y tabulando ambas funciones, se tiene: 

 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f (x)= x3	-27	-8	-1	0	1	8	27	64	125	216
f (x)= 3x	0.037	0.111	0.333	1	3	9	27	81	243	729

Como puede apreciarse, la diferencia de valores es considerable, ya que en la primera función sólo se calcula el cubo del número y en la segunda se comporta de forma exponencial. 

Funciones logaritmicas:

 Sea la siguiente expresión: an = b

Se define al logaritmo en base a de un número b como el exponente n al que hay que elevar la base

para obtener dicho número, esto es:

loga b=n que se lee: el logaritmo en base a del número b es n .

Ejemplos: 32 =9 ⇒ log39=2 27 =128 ⇒ log2128=7 54 =625 ⇒ log5625=4

Como se puede ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no se debe olvidar cuando se trabaje con logaritmos.

Los logaritmos fueron introducidos en las Matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos se puede convertir productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia a n para cualquier valor real de n solo tiene sentido si a > 0 .

Logaritmos decimales
Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy

habituales es frecuente no escribir la base: log10 x = log x 

Como:

100=1⇒ log101=0
101=10 ⇒ log1010=1 102=100⇒ log10100=2 103=1,000⇒ log101,000=3 104=10,000⇒ log1010,000=4

Es decir, el logaritmo decimal de potencias de diez (con números naturales) es el número de ceros que posee. 

Logaritmos naturales

Se llaman logaritmos naturales (hiperbólicos o neperianos) a los logaritmos que tienen por base el número e:

loge x=lnx
el número e es un número irracional muy importante en Matemáticas y su valor es e ≈ 2.718281⋅⋅⋅ y se

calcula mediante la expresión: 

  para cuando x es muy grande. 

http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/16.%20Funciones%20Exponencial%20y%20Logaritmica.pdf 

Dr. Jose Manuel Becerra Espinoza.