Operaciones con funciones

Operaciones con funciones:

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos la composición de funciones y la función inversa de una función; estos dos conceptos –composición e inversión de funciones- son importantes en el desarrollo del cálculo. Reconocer una suma, producto, cociente o composición de funciones es útil porque permite descomponer funciones complicadas en otras más sencillas.

3.1 Álgebra de funciones.

En esta sección consideraremos las operaciones con funciones. Las funciones obtenidas a partir de estas operaciones –llamadas la suma, la diferencia, el producto y la división se definen como sigue:  Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f + g está definida por

(f + g )(x) = f(x) +g(x) Eldominiodef+gesDf ∩Dg 

Ejemplo  Seaf(x)=xyg(x)= x.Entonces(f+g)(x)=x+ x.Eldominiodefes(−∞,∞)yel

dominiodeges[0,∞).Asíeldominiodef+gesDf ∩Dg =(-∞,∞) ∩[0,∞)=[0,∞).

 Definición 3.2. 

Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f - g está definida por

(f – g)(x) = f(x) - g(x) Eldominiodef-gesDf ∩Dg

 Ejemplo

 Seaf(x)= x+1 yg(x)= x−4,entoncesf(-g)(x)=f(x)–g(x)= x+1 - x−4. Eldominiodefes[-1,∞),yeldominiodeges[4,∞).Eldominiodef–gesDf ∩Dg = [-1, ∞) ∩ [4, ∞) = [4, ∞).

Definición 3.3. 

 Sean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f ⋅ g está definida por

(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x).Eldominiodef⋅gesDf ∩Dg 

 Ejemplo

 Sea f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2. Entonces (f⋅g)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4. El dominio de f es (−∞, ∞) y el dominio de g es (−∞, ∞). Por tanto el dominio de f ⋅ g es Df ∩Dg =(−∞,∞).

 Ejemplo

 Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f ⋅g)(x) = f(x) g(x) = | x |⋅5. El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3. Entonces el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = 3. Si x = -2, entonces (f ⋅ g)(-2) = f(-2) ⋅ g(-2) = |-2|5 = 2⋅5 = 10.

 Definición 3.4.

 Sean f y g dos funciones y Df , Dg sus dominios respectivamente. Entonces la función f/g está definida por:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0

El dominio de f /g es Df ∩ Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Ejemplo 3.6.

Sif(x)=x+4yg(x)=x2 –1.Entonces(f/g)(x)=f(x)/g(x)=x+4/(x2 –1).El dominiodefyeldegsonlosnúmerosreales.Lafuncióng(x)=x2 –1esceroparax= 1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R – {-1, 1}

Ejemplo 3.7.

Si f(x) = x y g(x) = −x . Encuentre (f/g) (x).
Solución:
El dominio de f es [0, ∞) y el dominio de g es (-∞, 0]. Entonces Df ∩Dg = {0}, pero

g(x) = −x es cero para x = 0. Ahora el dominio de f/g es Df ∩Dg excluyendo los valores para los cuales g(x) es igual a cero. Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto vacío. De donde se tiene que la función (f/g)(x) = x / −x no tiene dominio.

Ejemplo 3.8

Sea f(x) = 4−x2 y g(x) = 3x + 1. Encuentre a) la suma, b) la diferencia, c) el producto y d) la división de f y g.

Solución:

El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2] y el dominio de g es 3. En consecuencia la intersección de sus dominios es [-2, 2] y las funciones pedidas están dadas por

a) f(+g)(x)= 4−x2 +(3x+1)

b) (f-g)(x)= 4−x2 -(3x+1)

c) (f⋅g)(x)=( 4−x2 )⋅(3x+1)

d) (f⋅g)(x)= 4−x2 /(3x+1)    

El dominio de (a), (b) y (c) es el intervalo [-2, 2]. En la parte (d) la función g(x) = 3x

+ 1 es cero si x = -1/3 y por lo tanto el dominio es {x | -2 ≤ x ≤ 2, x ≠ - 1/3}. 

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