Máximos y mínimos

Máximos y mínimos:

Los máximos y mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos)  o mas pequeños (mínimos) que toman una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad. 

Observa la gráfica:

 

 Conclusión: Las aplicaciones de la derivada se me hicieron un poco complicadas porque no se muy bien obtener los máximos y mínimos pero con la practica todo se soluciona. 

http://www.slideshare.net/ceciliateresa/maximos-y-minimos-de-una-funcion 

   

Extremos relativos

Extremos relativos: 

Sea f(x,y) una función definida sobre el conjunto R del que (a,b) es un punto interior. Se dice que: 

• La función f alcanza un mínimo relativo en el punto (a,b) si en un entorno del punto: f(x,y)>f(a,b).

• La función f alcanza un máximo relativo en el punto (a,b) si en un entorno del punto: f(x,y)<f(a,b).

 http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/calculo/guia/calculo_9_2_2.pdf  

Función creciente y decreciente

Función creciente y decreciente: 

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica,                              (x₁, f(x₁) ) y  ( x₂, f(x₂) )  con

 

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	<	f(x2).
Prevalece la relación  <

  

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica,

 (x₁, f(x₁) ) y  ( x₂, f(x₂) )  con

 

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	>	f(x2).
Cambia la relación de <  a  >

  

En la siguiente gráfica lo muestra 

 

http://facultad.bayamon.inter.edu/smejias/precalculo/conferencia/funcrecydecrec.htm  

Derivada de orden superior

Derivadas de orden superior:

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

 

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas. 

para derivadas de orden superior es de forma similar, así Dada la función  obtener la segunda derivada y cuarta derivada:

 

Conclusión: Para mi los tópicos complementarios de diferenciación no se me dificultaron ya que es complemento de las derivadas. 

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derivadas_de_orden_superior.htm 

Derivadas de funciones exponenciales

Derivadas de funciones exponenciales:

Una función exponencial es aquella en la que la variable está en el exponente. Ejemplos

de funciones exponenciales son y = 2x

y = 45x
y = 82x + 1

y = 10x - 3

Cuando se tiene la potenciación

ak = c
donde a, k y c son cualquier número (son tres cantidades las que intervienen: la base, el exponente y el resultado), a partir del resultado c existen dos posibilidades de regreso, uno hacia la base y otro hacia el exponente. Para regresar a la base se emplea la raíz k-ésima 1 de c; para re- gresar al exponente se emplea el logaritmo base a de c. En ambos casos la “operación raíz” o la “operación logaritmo” se le aplica al resultado c de la potenciación; además, se debe hacer inter- venir a la tercera cantidad, en el primer caso para señalar el índice del radical, en el segundo caso para señalar la base. 

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/7%20derivada%20funciones%20logaritmicas.pdf 

Derivadas de funciones logarítmicas

Derivadas de funciones logarítmicas:

El logaritmo de un número n es el exponente  al que debe elevarse la base para obtener dicho número n. 

Como los logaritmos pueden ser base de cualquier número, habría un número infinito de diferentes logaritmos, por lo que en algún momento los matemáticos acordaron emplear sola- mente dos tipos de logaritmos:

1. a)  los logaritmos base diez (por tratarse de un sistema decimal), llamados logaritmos vulgares o logaritmos decimales, representados simplemente por el símbolo log sin especificar la base, que se sobreentiende que es 10.

2. b)  los logaritmos naturales, representados por el símbolo ln y cuya base es el número irracional 2.718281828,. De manera semejante a como con π se representa el nú- mero de veces que el diámetro cabe en su propia circunferencia (3.1416), la base de

los logaritmos naturales se simboliza con la letra e, o sea que e = 2.718281828 .

Para obtener el valor de e con la calculadora debe oprimirse la tecla ex que en casi todos los modelos se localiza como segunda función del logaritmo natural, y después teclear el número 1. Con eso real- mente se está ingresando e1 que es e.

Este número sale del límite lim(1+ x)1/ x

                                                                x→0
del cual, por no ser tema de este curso, no se va a detallar más. 

7.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Los logaritmos, no importa cuál sea su base, todos tienen las siguientes tres propiedades:

1. 1a:  log A + log B = log AB

2. 2a:  log A−log B= log Alog B 

   3a: A log B = log B A

De éstas, la tercera será muy útil para resolver algunas derivadas de logaritmos, como se expondrá en algunos de los ejemplos venideros. 

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/7%20derivada%20funciones%20logaritmicas.pdf 

Regla de la cadena y de la potencia

Regla de la cadena y de la potencia:

Regla de la cadena

Si f y g son funciones diferenciales de x donde y=F(u) y u=G(x), entonces y= F(g(x))=(f o g)(x) es una función diferencial de x,y:

ay/ax=a(f o g)/ax=f'(u).g'(x)=f'(g(x)).g(x)

Comúnmente, g(x) se conoce como derivada interna. 

Regla de la potencia

Si u es una función  diferenciable de x y n es un numero real, entonces y=u^n es una función diferenciable de x,y:

Comúnmente, au/ax se conoce como derivada interna

 

Conclusión: No se me hicieron complicadas las derivadas sin embargo tienes que seguir bien sus reglas, si no ya estas mal.

 http://www.slideshare.net/willaren/regla-de-la-cadena-y-regla-de-la-potencia